Analysis Band by Behrends

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Dann ist die konstante Funktion 1 Supremum von {fn | n ∈ N }. ) ur alle x gilt; in Das heißt: Es ist nicht so, dass sup fn (x) = sup fn (x) f¨ unserem Fall ist n¨ amlich (sup fn )(1) = 1, aber sup fn (1) = 0. • Es gibt beschr¨ ankte nicht leere Teilmengen von C [ 0, 1 ], die kein Supremum besitzen; dieser Raum verh¨alt sich ordnungstheoretisch also viel komplizierter als R . Als Beispiel definiere man (fn )n=2,3,... durch ⎧ 0 x ∈ [ 0, 1/2 ] ⎨ n(x − 1/2) x ∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n ] fn : x → ⎩ 1 x ∈ [ 1/2 + 1/n, 1 ] .

Konstruiere solche Aε f¨ ur ε = 1, 1/2, 1/3, . . Definiert man dann A als die Vereinigung dieser Netze A1 , A1/2 , A1/3 , . , so ist A eine (h¨ochstens) abz¨ahlbare dichte Teilmenge. Kurz : Kompakte metrische R¨aume sind separabel. Beweis: Sei ε > 0 vorgegeben. Wir behaupten, dass ein m ∈ N und Elemente xi ∈ K, i = 1, . . , m existieren, so dass m Kε (xi ) = K; i=1 dabei bezeichnet Kε (xi ) wie in Kapitel 3 die Kugel um xi mit dem Radius ε. G¨ abe es kein ε-Netz, so w¨ are f¨ ur jedes m ∈ N und jede Auswahl von Elemenm ten x1 , .

Definiert man dann A als die Vereinigung dieser Netze A1 , A1/2 , A1/3 , . , so ist A eine (h¨ochstens) abz¨ahlbare dichte Teilmenge. Kurz : Kompakte metrische R¨aume sind separabel. Beweis: Sei ε > 0 vorgegeben. Wir behaupten, dass ein m ∈ N und Elemente xi ∈ K, i = 1, . . , m existieren, so dass m Kε (xi ) = K; i=1 dabei bezeichnet Kε (xi ) wie in Kapitel 3 die Kugel um xi mit dem Radius ε. G¨ abe es kein ε-Netz, so w¨ are f¨ ur jedes m ∈ N und jede Auswahl von Elemenm ten x1 , . . , xm ∈ K notwendig i=1 Kε (xi ) K; man k¨onnte dann induktiv eine Folge (xn )n∈N konstruieren, so dass d(xi , xj ) > ε f¨ ur i = j: W¨ ahle x1 ∈ K beliebig.

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