# Constructive real numbers and constructive function spaces by N. A. Sanin

By N. A. Sanin

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Also a + b = c0 + c1 p + · · · + ct pt + εt pt+1 , was die Darstellung von a + b zur Basis p ist. Analog erh¨ alt man durch Addition dieser Gleichungen: Sa + Sb + (ε0 + ε1 + · · · + εt−1 ) = (ε0 + ε1 + · · · + εt )p + Sa+b − εt . Unter Verwendung des Satzes von Legendre: (p − 1)m = (a + b) − Sa+b − a + Sa − b + Sb = (p − 1)(ε0 + ε1 + · · · + εt ). Daraus das folgende Ergebnis: Satz von Kummer. Der Exponent der maximalen Potenz von p, die a+b ¨ teilt, ist gleich der Anzahl ε0 + ε1 + · · · + εt der Ubertr¨ age, die a bei der Addition von a und b zur Basis p entstehen.

Damit ist ein Verfahren gemeint, das f¨ ur beliebiges N in endlich vielen Schritten erkennen l¨asst, ob N eine Primzahl ist, oder im Falle der Zerlegbarkeit die Primfaktoren liefert. F¨ ur eine gegebene nat¨ urliche Zahl N muss man√nur alle Zahlen n = 2, 3, . . √ oßten ganzen Zahl, die N nicht u bis zu [ N ] (der gr¨ ¨berschreitet) der Reihe nach daraufhin pr¨ ufen, ob sie Teiler von N sind. Wenn dies f¨ ur kein n der Fall ist, handelt es sich bei N um eine Primzahl. Falls jedoch etwa N0 ein Teiler von N ist, schreibt man N = N0 N1 , wobei N1 < N , 16 2.

Daher teilt q nicht (N − 1)/e, also ist q n Teiler von e und erst recht von p − 1. Obige Aussage sieht weniger nach einem Primzahltest als nach einem Resultat u nachweisen l¨asst, ¨ ber Faktoren aus. Wenn sich allerdings √ oßer ist als N , dann ist N dass jeder Primfaktor p = mq n + 1 gr¨ eine Primzahl. F¨ ur relativ große q n ist dieser Nachweis nicht zu zeitaufw¨andig. Pocklington gab noch die folgende Verbesserung an: Es sei N − 1 = F R, wobei ggT(F, R) = 1, und die Faktorisierung von F sei bekannt.