Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde by Paulo Ribenboim, Jörg Richstein, Wilfrid Keller

By Paulo Ribenboim, Jörg Richstein, Wilfrid Keller

Die Welt der Primzahlen - in faszinierender Weise werden die wesentlichen Ergebnisse über die elementaren Bausteine der natürlichen Zahlen vorgestellt. Grundlegende Sätze und die wichtigsten offenen Fragen und ungelösten Probleme werden von einer wohl einmaligen Sammlung von Rekorden über Primzahlen begleitet. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis ergänzt das Buch zu einer wichtigen Quelle für jeden Leser, der sich für die Zahlentheorie und insbesondere für Primzahlen interessiert. In der englischen Originalfassung quickly schon ein Klassiker, erscheint das Buch jetzt aktualisiert in deutscher Sprache.

Paulo Ribenboim ist emeritierter Professor der kanadischen Queen's collage, Fellow der Royal Society of Canada und Träger des George Pólya-Preises der Mathematical organization of the United States. Er ist Autor von thirteen Büchern und über a hundred and fifty Forschungsartikeln.

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Also a + b = c0 + c1 p + · · · + ct pt + εt pt+1 , was die Darstellung von a + b zur Basis p ist. Analog erh¨ alt man durch Addition dieser Gleichungen: Sa + Sb + (ε0 + ε1 + · · · + εt−1 ) = (ε0 + ε1 + · · · + εt )p + Sa+b − εt . Unter Verwendung des Satzes von Legendre: (p − 1)m = (a + b) − Sa+b − a + Sa − b + Sb = (p − 1)(ε0 + ε1 + · · · + εt ). Daraus das folgende Ergebnis: Satz von Kummer. Der Exponent der maximalen Potenz von p, die a+b ¨ teilt, ist gleich der Anzahl ε0 + ε1 + · · · + εt der Ubertr¨ age, die a bei der Addition von a und b zur Basis p entstehen.

Damit ist ein Verfahren gemeint, das f¨ ur beliebiges N in endlich vielen Schritten erkennen l¨asst, ob N eine Primzahl ist, oder im Falle der Zerlegbarkeit die Primfaktoren liefert. F¨ ur eine gegebene nat¨ urliche Zahl N muss man√nur alle Zahlen n = 2, 3, . . √ oßten ganzen Zahl, die N nicht u bis zu [ N ] (der gr¨ ¨berschreitet) der Reihe nach daraufhin pr¨ ufen, ob sie Teiler von N sind. Wenn dies f¨ ur kein n der Fall ist, handelt es sich bei N um eine Primzahl. Falls jedoch etwa N0 ein Teiler von N ist, schreibt man N = N0 N1 , wobei N1 < N , 16 2.

Daher teilt q nicht (N − 1)/e, also ist q n Teiler von e und erst recht von p − 1. Obige Aussage sieht weniger nach einem Primzahltest als nach einem Resultat u nachweisen l¨asst, ¨ ber Faktoren aus. Wenn sich allerdings √ oßer ist als N , dann ist N dass jeder Primfaktor p = mq n + 1 gr¨ eine Primzahl. F¨ ur relativ große q n ist dieser Nachweis nicht zu zeitaufw¨andig. Pocklington gab noch die folgende Verbesserung an: Es sei N − 1 = F R, wobei ggT(F, R) = 1, und die Faktorisierung von F sei bekannt.

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